L'aiguille de Buffon
On lance des aiguilles au hasard sur un sol constitué de droites parallèles. Certaines aiguilles coupent une ligne, d'autres restent entièrement entre deux lignes.
Le rapport entre le nombre d'aiguilles lancées et le nombre d'aiguilles qui coupent une ligne permet d'obtenir une estimation du nombre π.
L'écartement entre deux lignes vaut 100 unités. La longueur de l'aiguille doit donc être comprise entre 10 et 100.
Réglez les paramètres puis lancez une simulation.
| Aiguilles lancées | Aiguilles qui coupent une ligne | Fréquence de croisement | Estimation de π |
|---|---|---|---|
| 0 | 0 | — | — |
Évolution de l'estimation de π
Comment cette expérience permet-elle d'estimer π ?
On note \(L\) la longueur d'une aiguille et \(D\) l'écartement entre deux lignes. Ici, \(D = 100\).
Lorsque \(L \leq D\), la probabilité qu'une aiguille coupe une ligne est :
\[ P(\text{croisement}) = \frac{2L}{\pi D} \]
Si l'on lance \(N\) aiguilles et que \(C\) d'entre elles coupent une ligne, la fréquence \(\frac{C}{N}\) approche cette probabilité.
On peut donc estimer \(\pi\) par :
\[ \pi \approx \frac{2LN}{DC} \]
Cette expérience est remarquable : elle permet d'approcher un nombre lié à la géométrie du cercle avec une expérience fondée sur le hasard.