Achille et la tortue
Dans l'un des paradoxes de Zénon d'Élée, Achille poursuit une tortue qui possède une avance initiale. Zénon affirme qu'Achille ne peut jamais la rattraper : lorsqu'il atteint le point où se trouvait la tortue, celle-ci a déjà avancé un peu plus loin.
Pourtant, Achille rattrape bien la tortue. Le paradoxe vient du fait qu'il découpe le déplacement en une infinité d'étapes, sans prendre en compte que la somme de leurs durées peut rester finie.
Les vitesses doivent être positives et Achille doit être plus rapide que la tortue.
Réglez les paramètres puis lancez la course.
| Avance initiale | Vitesse d'Achille | Vitesse de la tortue | Instant du rattrapage |
|---|---|---|---|
| 20 | 10 | 5 | 4 |
Les premières étapes du raisonnement de Zénon
| Étape | Distance à parcourir par Achille | Temps supplémentaire | Temps cumulé | Nouvelle avance de la tortue |
|---|
Résolution du paradoxe
Supposons qu'Achille coure deux fois plus vite que la tortue. Lorsqu'il parcourt les 20 mètres d'avance initiale, la tortue avance de 10 mètres. Lorsqu'il parcourt ces 10 mètres, elle avance encore de 5 mètres, puis de 2,5 mètres, et ainsi de suite.
Les distances successives forment une suite géométrique :
20 ; 10 ; 5 ; 2,5 ; 1,25 ; ...
Elles sont de plus en plus petites. Le fait qu'il y ait une infinité d'étapes ne signifie donc pas que la durée totale est infinie.
Dans la situation générale, si \(d\) est l'avance initiale, \(vA\) la vitesse d'Achille et \(vT\) celle de la tortue, avec \(vA > vT\), le temps de rattrapage vaut :
t = d vA − vT
Il est donc parfaitement fini : Achille rattrape la tortue.
Essayez différentes vitesses. Si la tortue se rapproche de la vitesse d'Achille, le temps nécessaire pour la rattraper augmente. En revanche, tant qu'Achille est plus rapide, il finit toujours par la dépasser.